図5.17 パレート最適解集合の評価方法
多目的最適化GAでは, 定量的なアルゴリズム性能評価方法が未だ確立されていない. 少ない研究例の中のほとんどがグラフの図示により「パレート最適解の全体が一様に得 られた」と記述しているだけである. これらのグラフから読みとられるべき解の性質と して, 次の項目が挙げられる.
図5.17 パレート最適解集合の評価方法
, 真のパレート最適解集合を 
とし, 個体 k の
真のパレート最適解との誤差 
を, 最近接点とのユークリッド距離
とする. パレート最適個体集合の精度 E は誤差の平均値
で表される.
ただし, この方法には真のパレート最適解以外の個体は完全に無視されると いう欠点がある. この欠点を解消するためには, 各々のパレート最適個体を 最も近い真のパレート最適解に射影し, 小領域へのマッピングを行なうこと が必要である.
比喩的に言えば, 絶対精度はパレート最適個体集合の真のパレート最適解へ の収束度という縦の尺度であるのに対し, 絶対被覆度は最適個体集合の広が りという横の尺度であると考えられる. すなわち絶対精度と絶対被覆度は互 いに直交する尺度であり, 片方のみ優れた解が存在し得る.
目的関数が2変数の場合は, 真のパレート解集合は曲線となるので, 曲線に
沿った正規化座標 
により, 各パレート最適個体の
位置 ( 
) を表現することができる.
さらに, この正規化座標上で次の相対累積度数分布曲線 
を考える.
完全に一様な散らばりを示すのは, 各個体が等間隔に並ぶとき, すなわち個
体数 N として, 正規化座標が 
となるときである. このとき, 
の直線となる. 一方, すべての個体が一点 
に集中して
いる場合には, 
で 
にジャンプする階段関数とな
る.
そこで, 多様性の評価関数として, この相対累積度数分布曲線
の経路長
を考えることができる.
ただし, ( 
) とする.
つまり, 等間隔に並んだ場合には 
, 一点集中の場合には
L=2 となる. これを 
に正規化した次の関数
を多様性の評価関数とする.
以上の4評価項目を例題の評価に用いたが, 真のパレート解が不明な場合や, 目的関数 が3変数以上の場合のために次の「相対精度」と「多様性(2)」も机上で検討した.
( 
) の相対的な優劣を比較することを考える. まず,
すべてのパレート最適個体集合を合成し, 中でパレート最適個体集合 P を再
計算する. このとき元々のパレート最適個体集合 P で P に含まれる個体の
割合を P の相対精度 F(P 
とする.
に分割し, それぞれの小領域に含まれる個体の割合を 
(= 
, 
: 小領域 に含まれる個体数)とする. この出現
確率に対して情報量 H が
と定義できる. 小領域の数を M とすると, 情報エントロピーの最大値
はす
べての が等しい場合 ( 
) なので,
である. 多様性の評価関数 
を情報エントロピーの最大値に対する割合
と定義する. ここでも小領域のサイズが問題となるが, 現時点では試行錯 誤で決定するものとする.